翰墨文学

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第103章 少年得意挥斥方遒（第2页）

于是也不想着凑热闹了，跟着老薛老老实实回到自己的房间，打开电脑上忙碌起来。

“你中午想吃什么？我去给你把饭打回来吧。”看到乔喻开始干活，薛松问了句。

越来越感觉自己像个保姆了，不过还好，再过两天他带的博士生就会来学校了。

“嗯，随便打份盒饭就行，我不挑食的，对了，肉多一点。”乔喻说道。

“那给你加两个鸡腿？”

“好呀！”

薛松撇了撇嘴，然后走了，没一会，房间门被敲响，乔喻头也没抬的说了句：“请进。”

门被推开田言真走了进来，乔喻百忙之中扭头看了眼，连忙叫道：“田导。”

“嗯，在做准备呢？”

“是啊！”

“我来看看。”

“您坐。”

“这里改一下，在你没有完成证明的时候，措辞要更严谨，改成，根据几何直觉，可以推测存在一个依赖于曲线X的几何和算术性质的常数C，使得曲线上有理点的个数N（X）≤C。”

“哦。”

“还有这里，你的描述是同调范畴QH（Cp）是一个增强的同调范畴……，这里并没有强调出其跟一般意义上的同调范畴区别，我仔细思考了你的想法。

如果要更好的分析曲线在p-进完备空间中的局部同调行为，你可以引入一个量子化同调范畴，如果在同调层面引入量子化的特征，也许能捕捉到几何结构中细微的局部变化？”

“啊？量子化？但这跟量子物理没关系吧？”

“我是说数学的量子化。在拓扑和代数几何这些领域，量子化是指代离散化或将经典结构提升到更复杂的结构的过程，这一过程通常是非交换的。”

田言真看到乔喻还不太明白的样子，拿起了桌上的纸跟笔，说道：“时间不多，我以辛几何中的几何量子化为例给你讲解一下。

首先我们要在相空间中选择一个极化，你可以理解为经典相空间中确定一个方向，或者坐标，来简化问题复杂性。选择极化可以看作选择一种分解，使得一部分坐标被用来描述量子态，而动量则变为微分算子作用于这些量子态上。

然后，通过极化条件来构造一个希尔伯特空间，该空间可以看作是经典相空间的某种函数空间。这个函数空间包含了所有可能的量子态也就是波函数，其结构依赖于经典相空间的辛结构和极化选择的结果。”

田言真一边说着，笔下已经开始写出了一个具体的例子。

“你看，假如一个单个谐振子的相空间由位置q和动量p组成，形成一个平面（q，p）。辛形式可以写为ω=dq∧dp。我们现在要将这个平面量子化到一个希尔伯特空间，首先选择极化为p=0……”

乔喻静静的听着导师的讲解，不懂的地方就开口提问，就这样十分钟后，他突然又开窍了。

“哦，我明白了，我的Q可以代表量子化不变量，等等，让我想想，我需要一个量子化同调范畴，来分解曲线的同调群，就能通过量子化处理，解释曲线上有理点在局部量子结构中的行为，对吧？田导？”

“嗯……”

“对对对，就是这样的，笔给我用用，嗯，在一个量子化同调范畴……”说着乔喻从田导手中直接把笔抽出，让飞快的在稿纸上把他昨晚琢磨的第一个公式补充完整。

田言真看着乔喻写下的这一串公式，面色不变的说道：“证明过程呢？”

“首先Q已经确定是作用在曲线同调群的量子算符了嘛，然后第一步就是构建一个量子同调范畴，首先对H进行分解，构建新的量子态，然后用量子态维数描述曲线同调性。

第二步就是找到量子化同调群与有理点的关系，这里就很明显了，同调群的维数直接与曲线的亏格g相关。亏格越大，意味着曲线的几何复杂性越高，有理点的个数相对较少。

这个时候把Q加进去，就能到dimQH1（Cp）=f（g，Q），这是为了让局部几何结构的变化更加敏感，进一步限制了有理点的个数。

然后通过Jacobian对有理点进行限制，这是今天讲座上那位罗伯特教授用到的方法，我们可以改一下，放进完备空间里。按照之前的研究Jacobian的阶次越高，意味着曲线上可分配的有理点数量可能更少。

最后再把这个函数构建出来就行了。函数右边前半部分是量子化后的同调群维数，它取决于曲线的亏格g和量子算符Q，后半部分反映了曲线的几何结构和有理点的限制。

您真是太厉害了田导，随便指点我几句，就让我迈出了证明有这个常数C的一大步！”

乔喻由衷的感谢了句。

田言真则看着乔喻在稿纸上飞快写下的证明过程沉默不语。

他能感觉到心跳正在加速。

“砰砰砰……”像正在被敲打的战鼓一般。

这是什么领悟速度？他本以为光给乔喻简单讲解量子化起码需要半个小时，因为这其中牵扯到很多复杂的数学概念，很多概念他都不确定乔喻是否接触过。

毕竟乔喻并没有接受过系统化的数学教育，但他讲着，讲着，这家伙突然就把昨天一个粗浅的想法给明确到这种地步了？而且看过程，似乎没有错，还挺严谨。

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